./example.sh 2> error.out | tee ./stdout.out

如果你不需要输出标准错误的内容到终端的话：

./example.sh 2> ./error.out | tee ./stdout.out
将标准错误重定向到 error.out 中，标准输出正常显示

如果还需要输出标准错误的内容：

./example.sh > >(tee ./stdout.out) 2> >(tee ./error.out)

解释：
> 和 2> 就是重定向，前者重定向标准输出，后者重定向标准错误（2是标准错误的文件描述符）
>(...) 是创建一个带FIFO（一种进程间通信的方式）的子进程，让这个子进程接收前面的命令的输出。